定义 1 设
V
V
V 是一个非空集合，
R
\R
R 为实数域。如果在
V
V
V 中定义了一个 加法，即对于任意两个元素
α
,
β
∈
V
\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V
α,β∈V，总有唯一的一个元素
γ
∈
V
\boldsymbol{\gamma} \in V
γ∈V 与之对应，称为
α
\boldsymbol{\alpha}
α 与
β
\boldsymbol{\beta}
β 的 和，记作
γ
=
α
+
β
\boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}
γ=α+β；在
V
V
V 中又定义了一个数与元素的乘法（简称 数乘），即对于任一数
λ
∈
R
\lambda \in \R
λ∈R 与任一元素
α
∈
V
\boldsymbol{\alpha} \in V
α∈V，总有唯一的一个元素
δ
=
λ
α
\boldsymbol{\delta} = \lambda \boldsymbol{\alpha}
δ=λα，并且这两种运算满足以下八条运算规律（设
α
,
β
,
γ
∈
V
\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma} \in V
α,β,γ∈V、
λ
∈
R
\lambda \in \R
λ∈R）：
α
+
β
=
β
+
α
\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}
α+β=β+α；
(
α
+
β
)
+
γ
=
α
+
(
β
+
γ
)
(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})
(α+β)+γ=α+(β+γ)；在
V
V
V 中存在 零元素
0
\boldsymbol{0}
0，对任何
α
∈
V
\boldsymbol{\alpha} \in V
α∈V，都有
α
+
0
=
α
\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\alpha}
α+0=α；对任何
α
∈
V
\boldsymbol{\alpha} \in V
α∈V，都有
α
\boldsymbol{\alpha}
α 的 负元素
β
∈
V
\boldsymbol{\beta} \in V
β∈V，使
α
+
β
=
0
\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{0}
α+β=0；
1
α
=
α
1 \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}
1α=α；
λ
(
μ
α
)
=
(
λ
μ
)
α
\lambda (\mu \boldsymbol{\alpha}) = (\lambda \mu) \boldsymbol{\alpha}
λ(μα)=(λμ)α；
(
λ
+
μ
)
α
=
λ
α
+
μ
α
(\lambda + \mu) \boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha} + \mu \boldsymbol{\alpha}
(λ+μ)α=λα+μα；
λ
(
α
+
β
)
=
λ
α
+
λ
β
\lambda (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = \lambda \boldsymbol{\alpha} + \lambda \boldsymbol{\beta}
λ(α+β)=λα+λβ。
那么，
V
V
V 就称为（实数域
R
\R
R 上的）向量空间（或 线性空间），
V
V
V 中的元素无论其本来的性质如何，统称为（实）向量。
简言之，凡满足上述八条规律的加法及数乘运算，就称为 线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为 向量空间，其中的元素就称为向量。
向量空间的概念是集合与运算两者的结合。一般来说，同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成不同的向量空间；若定义的运算不是线性运算，就不能构成想来那个空间。
向量空间具有如下特征：
性质 1 零向量是唯一的。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 2 任一向量的负向量是唯一的，
α
\boldsymbol{\alpha}
α 的负向量记作
−
α
- \boldsymbol{\alpha}
−α。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 3
0
α
=
0
0 \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}
0α=0。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 4
(
−
1
)
α
=
−
α
(-1)\boldsymbol{\alpha} = - \boldsymbol{\alpha}
(−1)α=−α。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 5
λ
0
=
0
\lambda \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}
λ0=0。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 6 如果
λ
α
=
0
\lambda \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}
λα=0，则
λ
=
0
\lambda = 0
λ=0 或
α
=
0
\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}
α=0。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
有子空间的定义如下：
定义 2 设
V
V
V 是一个线性空间，
L
L
L 是
V
V
V 的一个非空子集，如果
L
L
L 对
V
V
V 中所有定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称
L
L
L 为
V
V
V 的 子空间。
因为
L
L
L 是
V
V
V 的一部分，
V
V
V 中的运算对于
L
L
L 而言，定义 1 中的规律 1、2、5、6、7、8 显然是满足的，因此只要
L
L
L 对运算封闭且满足定义 1 中的规律 3 和 4 即可。根据定义 1 的性质可知，若
L
L
L 对运算封闭，则即能满足规律 3 和 4。因此有
定理 1 线性空间
V
V
V 的非空子集
L
L
L 构成子空间的充分必要条件是：
L
L
L 对于
V
V
V 中的线性运算封闭。
证明 根据定义 1 和定义 2 显然成立。